У Вас есть удачное изобретение?

Публикуйте концепцию и возможно инвестор заметит Вас!

Введение

Внешний характер пространственных измерений наложил отпечаток на формирование соответствующих естественно-математических понятий. В частности, это выразилось в представлении о трехмерности пространства. Реальные вещи, тела и процессы, с которыми сталкивается человек в практической деятельности, объемны. По существу, объемность (или емкость) и представляет собой реальную пространственную протяженность.

Пространство не может быть чем-то иным, нежели совокупностью кубических метров. Однако выражение реального объема именно в кубических метрах (см , км и т.п.) явилось результатом длительного развития прежде всего хозяйственной, но вместе с тем и научной практики. Потребность в измерении посевных площадей, расстояний и привели к тому, что исходной основой пространственных измерений явилась длина и ее абстрактное выражение - линия.

Почему трехмерен объем в геометрии Евклида? Потому что в его основе лежит линия, взятая одномерно; линии образуют двумерную плоскость, а из плоскостей строится трехмерный объем. Хотя такой путь оптимален и в наибольшей степени удовлетворяет потребностям практики, он все же не является единственно возможным. Данные археологии подтверждают, что единицы измерения объема (емкости) исторически являются столь же древними, как и естественные измерения времени и длины (день, месяц, ступня и т.п.). Можно предположить, что если бы практические потребности первобытных людей выдвинули на передний план не измерения площадей и расстояний, а измерения объемов, то развитие геометрии могло бы пойти по пути, отличному от проложенного Евклидом.

Говорят, к примеру: такая-то комната больше, чем другая; новый прибор (машина) более компактен и занимает меньше места (меньшее пространство), чем прежняя модель. При всей приблизительности приведенных сравнений реальная пространственная объемность выражена здесь в одном измерении: в отношении "больше - меньше". Если на основе подобных или аналогичных сравнений выработать единицы измерения одномерных объемов и положить их в основу некоторой воображаемой геометрии, то понятие линии в ней могло бы быть совершенно иным: например, выраженным в трех измерениях, скажем, как корень третьей степени из единицы одномерного объема.

Хотя подобное представление на первый взгляд и кажется вычурным, в действительности в нем нет ничего необычного. Разве при измерении линейкой поверхности стола одномерная линия получается не при помощи операций с двумя объемами (поскольку объемны и линейка и стол, поверхность которого как сторона реальной объемности подвергается измерению)? Полученная линия и измеренная длина, а также их численные величины и являются результатом определенного сопоставления реальных объемных предметов.

Из сказанного следует, что ни двух-, ни трех-, ни четырехмерность, ни какая-либо другая многомерность не тождественна реальной пространственной протяженности, а отображает определенные аспекты тех объективных отношений, в которых она может находиться. Материальный мир - это и мир Евклида, и мир Лобачевского, и мир Римана, и мир Минковского, ибо в понятиях любой из геометрий, связанной с именами этих выдающихся ученых, можно описать и отразить реальную пространственную протяженность, как всеобщий атрибут материальной действительности [1].

Модель многомерного пространства

Рассмотрим трехмерное пространство - пространство, каждая точка которого характеризуется тремя числами по отношению к декартовой системе координат. В нем справедлива теорема Пифагора

R 2 = X 2 + Y 2 + Z 2………………………………… (1)

Как видим, в 4-мерном пространстве две плоскости могут пересекаться в одной точке, чего не было в 3-мерном пространстве. Это нетрудно представить наглядно, если спроецировать 4-гранный угол на плоскость аналогично проецированию 3-гранного угла на плоскость, воображая, что углы плоскостей при вершине 4-гранника такие же прямые, как и в 3-граннике.

Вообще, если рассмотреть множество из n точек, что соответствует n-мерному пространству, то легко обнаружить, что выполняется следующее соотношение

l >= m + k - n ………………………………..(2)

где l подмножество точек в пересечении подмножеств m и k ; n - все множество точек.

В теории конечномерных векторных пространств существует аналогичное соотношение, т.е.

dim l >= dim m + dim k - dim n …………………………..(3)

где dimension - размерность; dim l - размерность подпространства, получаемого в результате пересечения подпространств m и k; dim n - размерность объемлющего пространства [2]. Пусть мы имеем бесконечномерное пространство. Тогда в нашей модели это отобразится множеством из бесконечного числа точек (рис.5),

т.е. сплошной непрерывной областью. Соотношения (2) и (3) будут иметь здесь вид

L >= M + K - N

Таким образом мы видим, что в бесконечномерном пространстве понятие дискретной размерности неприменимо.

Рассмотрим теперь множество из 9 точек, что соответствует 9-мерному пространству (рис.6)

Если это множество разбить на подмножества по три точки - A, B, C, то нетрудно видеть, что пересечение подмножеств A, В, C аналогично пересечению подмножеств из трех точек. В 9-мерном пространстве это означает, что три его трехмерных подпространства могут пересекаться в одной точке и быть взаимно ортогональными. Таким образом, 3-мерное подпространство в этом случае может играть роль координатной "оси". Тогда то, что соответствует 2-мерным плоскостям в 3-мерном пространстве, здесь будет 6-мерным подпространством. Мы взяли по три точки в А, В, С только в качестве примера. Пусть в А, В, С будет по n точек. Тогда мы получим аналог 3n -мерного пространства. Куб, например, в таком пространстве будет выглядеть следующим образом (рис.7)

Здесь каждое ребро n-мерно, каждая грань 2n-мерна, а сам куб 3n-мерен, но точечных вершин все равно восемь. Если в качестве "линии" в 3n-мерном пространстве взять его n-мерное подпространство, то мы получим с таким определением обычную 3-мерную геометрию, где каждая точка может быть охарактеризована тремя числами по отношению к n-мерным координатным "осям". Единственное отличие будет состоять в том, что "длина" этой линии будет измеряться метрами в степени n (см, км и т.п.). Теорема Пифагора в этом случае будет иметь вид

R 2 м n = X 2 м n + Y 2 м n + Z 2 м n

Таким образом, эта трехмерная геометрия формально ничем не отличается от трехмерной геометрии Евклида.

В принципе n можно устремить к бесконечности и мы получим 3-мерную геометрию с бесконечным числом внутренних степеней свободы. Точки в этом пространстве (т. е. очень малые области) являются бесконечномерными. Применим ли к такому пространству физический анализ П. Эренфеста [3]. Нетрудно заметить, что в его анализе существенную роль играло понятие силовой линии, которая предполагалась 1-мерной. Однако, как мы видели выше, "линия" в 3-мерном пространстве внутренне может быть и n-мерной.Поэтому анализ Эренфеста, по-видимому, справедлив для внешней 3-мерной геометрии, но не для внутреннего пространства таких "линий" (силовых?).

Мы приходим к выводу, что если наблюдатели пользуются формализмом 3-мерной геометрии, то само пространство может быть не 3-мерным. Скорее всего, как это следует из вышеизложенного, оно потенциально (внутренне) бесконечномерно. На каком уровне проявляется эта многомерность - это уже вопрос физики. Здесь напрашивается аналогия с потенциалом в теории калибровочных полей. Ведь сам потенциал ненаблюдаем. Наблюдаемой является разность потенциалов. Возможно, в нашем случае, аналогом разности потенциалов является пересечение подпространств. Пока же мы видим, что внешняя трехмерность сохраняется в большом интервале масштабов. Объяснение этому дано в моей статье [4] (на русском языке).См. также статью "Почему пространство трехмерно".

Автор: Климец Александр Павлович

По материалам сайта "sciteclibrary.ru"

Введите ваше имя:

Комментарий:

Защита от спама - введите символы с картинки (регистр имеет значение):