ПАДАЮЩЕЕ КОЛЬЦО НАЧИНАЕТ ВРАЩАТЬСЯ

21-07-2022

Представим материальное кольцо - контур правильной окружности, которое расположено в гравитационном поле некоторой тяготеющей массы. Пусть эта масса значительно превосходит массу кольца, а его радиус во много раз меньше расстояния между центром тяготения и центром кольцевой окружности. Плоскость кольца при этом строго перпендикулярна оси, соединяющей центр кольца и центр поля.

Падающее кольцо начинает вращаться.

Иными словами, если падение начинается при данных начальных условиях, если вся система абсолютно симметрична, а в момент начала падения отсутствует какое бы то ни было вращение, тем не менее - по мере движения кольца по направлению к центру тяготения - падающее кольцо будет раскручиваться.

Этот вывод основывается не на экспериментальных наблюдениях (хотя может быть ими подтвержден), а на теоретических основаниях, которые, возможно, покажутся читателю несколько непривычными. В связи с этим автор должен сделать некоторые пояснения.

После международной математической конференции "Многомерный комплексный анализ" (International Conference "Multidimensional Complex Analysis", Krasnoyarsk, Russia, August 5-10, 2002), где автор представил внепрограммный доклад "Существуют ли гипердействительные числа в квантово-релятивистской вселенной?", я опубликовал в Интернете цикл статей под общим названием "Нестандартный анализ неклассического движения". В 60-е годы прошлого века трудами А.Робинсона была обоснована логическая правомерность так называемой нестандартной модели математического анализа, где поле действительных чисел расширялось за счет актуально бесконечно малых и бесконечно больших гипердействительных, а стандартное понимание предела подвергалось пересмотру. Мне было важно показать, что такой подход может оказаться продуктивным и для неклассической физики, а гипердействительные числа из чисто идеальных математических объектов могут превратиться в необходимые характеристики Универсума.

В статье "Время и Хронометрика. Ареальные множества" вводится понятие ареальных множеств, - таких множеств, элементы которых не могут быть реальными одновременно (простейший пример - множество состоящее из двух утверждений А и не-А). Как пример ареального множества рассматривался одномерный временной континуум. После этого, в работе "Числа в пространстве" было предложено кватернионное время-пространство - 4-мерное псевдоевклидово пространство индекса 3, где временная ось оставалась вещественной, а в качестве мнимых выступали пространственные координаты.

Квартернионное время-пространство отличалось от пространства-времени Минковского не только сигнатурой - (---+) вместо (+++-), но и тем, что его четыре оси определялись не в мере x[м], а в мере t[с], соответственно коэффициентом становилась не скорость света С [м/с], а константа S[с/м], смысл которой пояснялся в статье. При этом выяснилось, что классическим аналогом этой величины следует признать вращение.

Автор предположил, что стандартное определение вращения, используемое в классической физике, не отвечает новым задачам. Традиционное понятие вращения формулируется исключительно по отношению к инерциальным системам отсчета, что фиксируется в угловой скорости (относительно не вращающейся системы координат) и линейной мгновенной скорости (опять-таки относительно инерциальной системы отсчета). Мерой вращения оказывается тогда [м/с], поскольку для вращения в качестве независимой переменной приходится брать время. Оказалось, что в противоположность этому, можно вполне последовательно и непротиворечиво построить понятие вращения относительно вращения. Множество скоростей вращения и взаимоотношения на этом множестве получается совершенно аналогичным множеству поступательных прямолинейных относительных скоростей, однако мерой вращательного движения становится [с/м], независимой переменной оказывается "отсчитывание метров".

Следует заметить, что в этом же русле лежат математические построения известные как не коммутативные геометрии, а формально-математические предпосылки данного подхода и их физическую интерпретацию можно найти в работе В.И.Елисеева "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного"

Таким образом, были найдены новые логические и математические основания для понимания физическое реальности. С новых позиций вращение понимается уже не как некий аспект движения, редуцируемый к поступательному перемещению одной материальной точки по некоторой траектории (ее замкнутость - частный случай), а как фундаментальная характеристика движения, имеющая свою меру измерения [с/м] и свою независимую переменную - x[м]. В связи с этим, данный подход может быть легко распространен на другие физические явления, например, может быть использован в рассмотрении процесса падения материального кольца в поле гравитации.

В рамках классической теории случай падения материальной точки в центральном поле гравитации не представляет сложности, особенно, если начальные условия таковы, что в системе отсчета, связанной с центром гравитации, материальная точка в начале покоится (тогда точка просто падает по прямой с ускорением, изменяющимся пропорционально расстоянию). Что изменится, если вместо точки берется материальное кольцо, соответствующее условиям, описанным в начале статьи? Сначала кажется, что мы обязаны рассматривать такое кольцо в качестве некоего множества материальных точек. Но тогда, по мере падения этих точек к центру, расстояние между точками должно сокращаться (даже если пренебречь их взаимным притяжением), иными словами - радиус кольца, образованного этими точками, должен уменьшаться.

Даже в такой классической формулировке можно усмотреть расхождение теоретической модели с физикой явления: ведь реальное материальное кольцо лишь в абстракции может рассматриваться как множество материальных точек, на самом же деле - это целостное геометрическое образование. В таком случае, "сближение точек" должно для такого кольца проявляться как воздействие некоторой силы, стремящейся сжать кольцо. Правда, это не типично классическая сила, дающая равномерное ускорение в единицу времени, а некое "само по себе сближение точек", связанное с их скольжением вдоль сторон равнобедренного треугольника к его вершине в центре тяготения. Еще интереснее будет выглядеть картина, если в качестве материального кольца мы рассмотрим полый жесткий тор, наполненный жидкостью: здесь характер поведения материальных точек - молекул - неизбежно приведет к картине некоего вихревого движения. В обоих случаях мы должны будем дополнять теоретическую, чисто механическую, модель какими-либо представлениями, связанными с процессами в твердом теле или взаимодействием сплошной среды с твердой оболочкой. В ходе конкретизации придется привлекать все новые и новые представления - молекулярно-кинетические, термодинамические, электромагнитные и т.п.

Однако анализируемая система - материальное кольцо в поле тяготения - настолько проста, что, представляется возможным обойтись без конкретизирующих деталей. Мы не должны вводить в теорию каких бы то ни было конкретных физических представлений, наоборот - нам надо абстрагироваться от внутренней структуры материального кольца, от представления о нем как о реальном физическом предмете. Это надо сделать еще и потому, что любые наши представления о внутренней физической структуре кольца неизбежно будут основываться на исходной идеализации классической механики - материальной точке.

В классической механике идеализация "материальной точки" создана в процессе абстрагирования от конкретной формы тела и его материала. Для вывода механических законов нет необходимости в дополнительных физических гипотезах. Поэтому автор считает логически правомерным рассмотрение идеального материального кольца, как абстрактного объекта - не расчленяемого на материальные точки, создающие ему какую бы то ни было внутреннюю структуру. При этом вращение кольца оказывается не вращением отдельных его точек "друг за другом" по круговой траектории, а фундаментальной формой движения - интегральным вращением непрерывной геометрической окружности вокруг ее центра.

При таком подходе поведение материального кольца в гравитационном поле оказывается трудно объяснимым с точки зрения классической теоретической механики. Очевидно, что потенциальная энергия материального кольца в начале падения не может полностью перейти в кинетическую энергию его поступательного движения в момент прихода кольца в произвольную конечную точку. Однако, поскольку закон сохранения энергии должен выполняться, единственно возможным следует признать вывод: падающее кольцо начинает вращаться.

Причем нарастание вращения происходит сообразно нарастанию "силы", стремящейся сблизить противоположные точки материального кольца по мере уменьшения их расстояния от центра гравитации. ("Сила" взята в кавычки, поскольку это воздействие осуществляется не пропорционально прошедшему времени, а пропорционально пройденному расстоянию.)

Это единственный вывод, который можно сделать, если мы хотим сохранить справедливость закона сохранения энергии. Закон сохранения импульса остается здесь действенным для поступательного сближения тяготеющих масс. А в силу закона сохранения момента импульса мы должны предположить, что таковой должен сохраняться для всей системы в целом. Иными словами, тяготеющая масса должна стать носителем противоположно направленного момента импульса - она также начинает вращаться.

Возникает вопрос: в какую сторону вращается кольцо, а в какую сторону должна вращаться тяготеющая масса? Вращения здесь относительны, но противоположно направлены, а для внешнего наблюдателя конкретное направление вращения - это вопрос наблюдения. Обращает внимание на себя такой теоретический вывод: если инерциальный наблюдатель фиксирует направление вращения кольца, он одновременно может предсказать направление вращения тяготеющей массы. Так появляется макроскопический аналог квантово-механического эффекта, известного как парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена: взаимозависимость ориентаций спинов двух некогда провзаимодействовавших частиц. Автор полагает, что такая аналогия не случайна.

II.

В кватернионном время-пространстве, четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 3, аналогом поступательной прямолинейной скорости является вращение, выраженное в мере [с/м]. Коэффициент S с размерностью [с/м] с помощью которого оси пространственных координат переводятся в меру t[с] является пределом сложения единичных вращений по закону, аналогичному координатным преобразованиям Лоренца для пространства-времени Минковского, а физическим эквивалентом этого предела (найденным из соображений размерности) является комбинация констант h/e2, где h = постоянная Планка, деленная на 2 "пи", а e - заряд электрона. Точно также, как константа С кладет предел максимальной скорости прямолинейного перемещения, так и константа S полагает предел для замедления вращения, определяя уровень с наименьшей энергией.

Допустимо следующее утверждение: псевдоевклидово пространство-время Минковского индекса 1 и псевдоевклидово квартернионное время-пространство индекса 3 как бы замыкаются друг на друге через бесконечность. Что означает это, вроде бы математически бессмысленное, выражение?

Выше автор говорил о нестандартной модели математического анализа Абрахама Робинсона и теории функций комплексного пространственного переменного Владимира Елисеева. Предварительно можно утверждать, что эти две концепции дополняют друг друга, поскольку "эпсилон-окрестность точки" - одно из основных понятий в теории В.Елисева - может отождествляться с областью гипердействительных актуально бесконечно малых в нестандартной модели математического анализа. Однако в нестандартном анализе областью определения бесконечно больших гипердействительных чисел является трансфинитность, и не совсем ясно, каким образом должны связываться эти два бесконечных полюса: актуально бесконечно большое и актуально бесконечно малое.

По мнению автора, здесь появляется возможность определения связи между континуальным-непрерывным и дискретным-числовым. В качестве модели такой связи предлагается следующее построение:

Если мы на числовой прямой будем отмечать точки, соответствующие ряду Фибоначчи, где каждое последующее является суммой двух предыдущих (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...), то в пределе - при устремлении в область все больших и больших чисел - отношение "двух последних" чисел Фибоначчии, как известно, дает Ф. Это знаменитое иррациональное число 1,61803... , задающее "золотую пропорцию" - сечение, при котором меньший отрезок относится к большему, как больший к их сумме. Можно заявить, что двигаясь так по числовой прямой мы и получаем в трансфинитной области два актуально бесконечно больших "отрезка", отношение между которыми выражается конечным иррациональным числом Ф.

И наоборот, можно в сторону убывания длин построить "в наших масштабах" ряд отрезков, соответствующих "золотому сечению":

Рис.

Поскольку отношение большего отрезка к соседнему меньшему = 1,61... т.е. больше 1, их общая длина в сторону убывания будет иметь на прямой вполне определенную предельную точку окончания. В ее окрестности и будут "скучиваться" уменьшающиеся отрезки, которые - в полном соответствии с бесконечной делимостью непрерывного континуума - никогда не перестанут делиться.

(Важно только не упускать из виду, что здесь строится последовательность отрезков, где единичным является любой из них: в сторону увеличения - у правого - длина увеличена на 1,61..., в сторону уменьшения - у левого - уменьшена 1/1,61... Аналогичная последовательность для рационального деления пополам - в численном выражении: ... 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16 ... Или для иррационального "корень из 2" - построение на основе прямоугольного равностороннего треугольника, где исходная гипотенуза становится катетом большего, а исходный единичный катет представляется как гипотенуза меньшего треугольника.)

В этом построении последовательности отрезков относящихся

попарно в "золотой пропорции" в сторону уменьшения их величин предельная точка никогда и не будет достигнута, однако можно утверждать, что в этой

актуально бесконечно малой окрестности возле предельной точки происходит удивительная вещь: вместо непрерывного континуума образуются ЧИСЛА, которые будут идти к предельной точке как уменьшающиеся числа Фибоначчи. А поскольку ряд Фибоначчи начинается 1, 1, 2, 3 ... , то эти числа (и соответствующие им актуально бесконечно малые гипердействительные длины) благополучно придут в точку предела.

Очевидно, здесь предельный переход понимается несколько иначе, нежели в классическом анализе. Но главное - мы остаемся все-таки в рамках теоретических представлений, мы не подгоняем математику под результаты эксперимента, а просто расширяем границы того, что считается в математике допустимым.

Могут быть предложены и теоретико-множественные аргументы, показывающие связь континуальности и дискретности. В классической теории множеств два первых уровня в иерархии бесконечностей - это счетная числовая и непрерывно-континуальная. Если посмотреть, как строится множество мощности континуума, то можно заметить, что оно возникает за счет дополнения счетного множества рациональных чисел за счет всех подмножеств этого множества. Множество всех бесконечных подмножеств бесконечного счетного множества образует ареальное множество - по терминологии автора, а континуум полупрямой, представляемый как числовая ось, является ареальным множеством, объединяющим все бесконечные варианты нормировок числовой оси. И обратно, - континуум легко преобразуется к числовым дискретностям с помощью исключения из него континуальных подмножеств: например, известные построения вроде "ковра Серпинского" и пр.

Особое место среди подобного рода построений занимает бесконечно ломанная фигура ван-дер-Вардена: в равностороннем треугольнике начинают делить стороны на три и надстраивать в середине по треугольнику, сначала получается Звезда Давида, потом "снежинки" со все возрастающим числом отростков. В пределе получается бесконечно ломанная с бесконечной длинной "сторон", с периметром бесконечной длинны. То есть мы на ограниченной площади размещаем бесконечно длинную замкнутую ломанную линию.

"В работе "Существуют ли гипердействительный числа в квантово-релятивистской вселенной?" автор предлагает иное построение - обратный вариант, когда в исходном треугольнике единичного периметра стороны делятся на четыре части, а срединные складываются в треугольную "крышу". То есть периметр не меняется, а треугольник от такого складывания уменьшается. Понятно, что в пределе он "сжимается в точку": мы в точку сжимаем бесконечно ломанную линию единичной длинны. Но в отличие от "стягивания в точку" обычных окружностей, здесь у нас фигура ван-дер-Вардена "сжимается в точку", укладывая в нее свой единичный периметр. Так легко показывается существование "эпсилон окрестности", - относительно этой окрестности область действительных масштабов с ее единичными длинами становится тем же, чем для нашей фигуры ван-дер-Вардена бесконечная - относительно нас - окружность, к которой стремится периметр ломанной ван-дер-Вардена "у нас".

Какое отношение это имеет к проблеме фундаментального вращения? Самое прямое. Хорошо известно и общепринято, что инерциальное прямолинейное движение можно выразить через вращение, но с бесконечным радиусом и нулевой угловой скоростью. Это то - к чему мы привыкли и практически, и логически. Но суть дела в том, что прямолинейное движение можно попытаться выразить и через вращательное движение с нулевым радиусом и бесконечной угловой скоростью. Это утверждение логически не ущербней, общепринятого: "нулевая угловая скорость" - звучит столь же странно, как и "нулевой радиус". Абрахам Робинсон доказал (и это признано) методами математической логики, что можно на основе представления об актуально бесконечно малых гипердействительных числах построить нестандартную модель анализа. Более того: он показал, что аппарат дифференцирования и интегрирования может быть даже проще, чем стандартный.

Именно эту актуально бесконечно малую "эпсилон-окрестность" кладет в основу своей концепции Владимир Елисеев в своей работе "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного. Грубо говоря, в актуально бесконечно малой окрестности точки умещается целое пространство. Николай Лобачевский полагал, что евклидовость - это бесконечно малый передел его пангеометрии. Оказывается, наоборот: в актуально бесконечно малой окрестности евклидовой точки размещается геометрия Лобачевского. То есть, в евклидовй плоскости нет никаких окружностей - как непрерывных линий, подобных отрезкам прямых, а есть только геометрические места равноудаленных точек. Зато из точки-центра, как в геометрии Лобачевского, можно развести стороны нулевого угла - так, что основанием его будет отрезок. Из этих-то отрезков и состоят бесконечно малые стороны многоугольника с бесконечным числом сторон, которыми мы в действительной области аппроксимируем окружность.

Людям пришлось развивать геометрический и алгебраический аппарат до самой крайней степени абстракции, понадобилось обнаружить предел скорости света (отношение двух отрезков не может превзойти какую-то константу, в то время как в классическом анализе ничего подобного и быть не может), понадобилось увидеть, как в микромире точки "не хотят" двигаться по математически непрерывным траекториям, - и только ТЕПЕРЬ возникла мысль: а может мы должны переделать сами исходные представления? И ведь было уже такое: считали предметы, получили натуральный ряд, стали измерять гипотенузы прямоугольников - нашли иррациональности. Так что А.Робинсон совершенно правильно претендовал на то, чтобы за счет актуально бесконечно малых и актуально бесконечно больших расширить поле действительных чисел (отсюда термин "гипердействительные").

Раздвоение псевдоевклидовой четырехмерности на сопряженные пространство-время Минковского и кватернионное время-пространство кажется математически несущественным - ведь единица не имеет физической меры и ее можно переворачивать: прямая и обратная единицы тождественны.

Но в физическом смысле, в реальности оси псевдоевклидого пространства размерны. И время - это другая сущность, нежели расстояние. Это что-то другое, это ЧТО-ТО как-то связано с движением, которого, как правильно полагали античные математики, в геометрию допускать нельзя. Но мы его допустили - и в результате развития математики получилось представление о псевдоевклидовых пространствах. Мы волей-неволей должны заниматься интерпретацией - переводить математические построения на язык реального мира. Поэтому не надо забывать, что реальный мире - это не пустое пространство геометрий. В математическом пространстве никаких МАТЕРИАЛЬНЫХ точек нет, нет там ни планет, ни электромагнитных волн, ни машин, ни людей... А в реальном Универсуме все это есть. Значит, чем-то отличается реальный мир от этих псевдоевклидовых пространств. Чем? А тем, что в реальном мире безразмерная единица раздвоена на размерные константы.

Образно выражаясь, мы живем "внутри единицы". Ведь если собрать вместе С[м/с] и S[с/м] и нормировать подходящим образом - мы соединим сопряженные псевдоевклидовы пространства, - получим тот математический образ пустого Универсума, в котором нет ничего, кроме непрерывных осей и алгебраических соотношений. Но мы - люди - ЕСТЬ, есть и атомы и частицы и поля, а значит нельзя отождествлять Универсум с пустым математическим пространством, наоборот, надо признать, что реальный мир - это разведение сопряженных комплексных пространств, где безразмерная единица раздваивается на размерные константы, которые определяют границы микро и макромасштабов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для читателей, видимо, уже очевидно, что в данной статье сделана попытка наметить теоретическое направление, имеющее далеко идущие следствия. Поэтому есть необходимость сказать несколько слов о том, как автор понимает общий замысел такого предприятия.

Я полагаю, что первая задача - это распространении квантово-механических представлений на область макромасштабов, точнее говоря - об обнаружении среди классических и релятивистских механических представлений таких оснований, которые позволяют ввести здесь типично квантовый подход. Известный принцип соответствия, по которому ныне трактуется связь между квантовой и классической физикой - это только идеологическая ширма, скрывающая логическую связь между ними. Связь, которую уже можно сформулировать математически.

В стандартном понимании вращения даже с классических позиций обнаруживаются неправомерные условности: вводятся фиктивные силы, математический маятник является изохронным только приближенно - для "небольших углов колебаний" (в отличие от циклоидального маятника, где материальная точка движется по дуге циклоиды) и др. Кстати, циклоидальная траектория, по которой движется точка вращающейся окружности относительно перемещающейся мимо нее инерциальной системы отсчета, требует введения таких "фиктивных сил", которые с классической точки зрения вообще не поддаются осмыслению. С другой стороны, в квантовой механике уже как само собой разумеющиеся используются фундаментальные представления о вращении - спин, плоскость поляризации и т.п. Автор убежден, что согласование квантово-механических представлений с классической механикой и ее неклассическим релятивистским выражением - задача вполне осмысленная и решаемая.

На это указывает математически очевидное раздвоение: пространственно-временной континуум и кватернионное время-пространство с размерными коэффициентами С и S. Нестандартный анализ А.Робинсона дает логические основания для нового понимания математического аппарата, применяемого ныне в стандартном дифференцировании и интегрировании. Теория функций пространственного комплексного переменного В.Елисеева предоставляет формально-математический схемы для новых физических интерпретаций многих известных явлений.

Автор: Павел Полуян

Контакт: polyan2002@mail.ru

Другие статьи по теме: