У Вас есть удачное изобретение?

Публикуйте концепцию и возможно инвестор заметит Вас!

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

УГОЛ НА ТРОИХ

17-03-2015

С древнейших времен остались нам три “вечные” геометрические задачи: построение квадрата, равного площади заданного круга (квадратура круга), удвоение объема куба и деление утла на три равные части (трисекция угла). Все они должны решаться с помощью циркуля и линейки без делений - таково условие. В этом требовании - вся загвоздка. Две заостренные палочки, насажанные на гвоздик, и одна полоска — вот и весь допустимый реквизит. Много античных ученых пробовали здесь свои силы, но безуспешно. Ныне, в начале третьего тысячелетия, не худо сделать еще одну попытку.

Начнем с угла “на троих”. Напомним, разрешенным “инструментом” легко делятся пополам угол, дуга, отрезок, проводятся параллельные и взаимно перпендикулярные линии. Итак, пусть надо поделить прямой угол АВС, (рис.1).

Строим линию АД, параллельно ВС. Далее, раздвигаем ножки циркуля на размер 2АВ и этим раствором из точки В делаем засечку Е на линии АД. Получился прямоугольный треугольник АВЕ, у которого гипотенуза ВЕ вдвое длиннее короткого катета АВ. Даже тот, кто совсем не любил в школе геометрию, знает: в этом случае угол АВЕ равен двум третям прямого, т.е. 60 градусов. Поделить его пополам разрешенными средствами — нет проблем. Следовательно, трисекция прямого угла выполнена. Это, понятно, относится и ко всем остальным углам, кратным прямому — 180°, 270°, и т.д.

Столь же просто поделить на три части угол, равный половине прямого, т.е. 45°, (рис 2). В квадрате АВСД с диагональю ВД около вершины В проводим окружность радиуса К = ВД/2 = ВЕ, затем проводим к ней касательную ДН. Полученный треугольник ВНД - прямоугольный, в котором катет ВН равен половине гипотенузе ВД и, следовательно, угол ВДН составляет 30°. Значит, оставшийся угол НДС равен 15°. Таким образом, при неуклонном соблюдении требований процедуры, угол ВДС, равный половине прямого, поделен на три равные части, (рис. 2).

Ну а ежели необходимо “трисекцировать” любой угол? При позволенном реквизите — циркуль и линейка без делений — это сделать нельзя. К такому выводу пришел величайший геометр древности Архимед (3 век до нашей эры), а в 19 веке невозможность трисекции любого угла доказана строго математически - кубическое уравнение, к которому сводится трисекция произвольного угла, неразрешимо в квадратичных радикалах. Читатели, желающие ознакомиться с этим решением, могут обратиться к книге М. Я. Выгодского “Арифметика и алгебра в древнем мире”, Москва, “Наука”, 1967г., стр. 95.

В свое время Архимед, убедившись в бесплодности попыток такой трисекции, предложил упростить древние условия и использовать линейку с делениями. В результате появился так называемый “Метод вставок”, позволяющий справиться с древним “ребусом”. Проиллюстрируем этот способ на примере.

Пусть АВС — произвольный угол, (рис. 3). Проводим прямую АД параллельно ВС и АН — перпендикулярно ВС, что легко выполняется разрешенным “реквизитом”. Затем раздвигаем ножки циркуля на величину 2АВ и этим раствором находим точки К и М, лежащие на одной прямой с точкой В, КМ = 2АВ. Если теперь провести линию ВКМ, то угол МВС окажется равным одной трети заданного угла АВС. Однако как совместить точки В.К и М на одной линии?

Для этого Архимед и предложил нанести на линейку деления, после чего приложить начало линейки в точке В и вращать ее, фиксируя момент, когда “вставка”, равная 2АВ, окажется на одной линии ВКМ, (на рис. 3 размер “вставки” показан циркулем). Можно, понятно, в процессе вращения, контролировать этот момент не линейкой без делений, а заранее раздвинутым на величину “вставки” циркулем. Это особенно удобно при прозрачной линейке, которой у древних геометров могло не быть. Но в этом случае своеобразными “делениями” будут сами ножки циркуля. Возможно, изобретатели предложат более простые решения, позволяющие “обойти” требования к линейке.

Теперь перейдем к задаче о квадратуре круга: при помощи линейки без делений и циркуля построить квадрат, эквивалентный площади заданного круга с центром О, (рис.4). Вписываем в окружность правильный 8-утольник, находим середины его сторон, через которые проводим стороны искомого квадрата АВСДЕНМК.

“Не больно-то равновелик этот квадрат окружности”, - с сарказмом заметит читатель. И будет прав: выступы А, С, Е, М и впадины В, Д, Н, К не компенсируют друг друга, ошибка в таком отображении площади круга достигает 10 процентов. Однако это замечание не является принципиальным: в мире нет ничего абсолютно точного, даже клон и тот отличается от “матрицы”, пусть и на молекулярном уровне, не говоря уж о ребенке, сделанном по обычной технологии. Главное, найден путь решения задачи. Теперь остается только вписывать в заданную окружность многоугольники со все большим числом сторон, кратным 4, и постепенно приближаться к истине. С 12-угольником - погрешность уже не более 5 процентов, (рис.5), 16-и угольник повысит точность до 1 процента и т.д. Но точного решения получить нам не удастся, истина недостижима. Из курса начальной школы известно, что в формулу площади круга входит число п. Как и все трансцендентные числа, оно не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами и, следовательно, нам никогда не поставить верный знак равенства между площадью круга и квадрата.

Возникает недоуменный вопрос: неужели геометры древности не могли додуматься до таких простых решений? Не могли, ибо задачи были сформулированы некорректно, не указана допустимая погрешность построения. Но винить мудрых праотцев нет никаких оснований. Они пользовались геометрией Евклида, покоящейся на неделимых элементах - точках. “Точка — то, что не имеет частей” — утверждает первый постулат, т.е. неделима, как тогдашний атом (атом по-гречески —“неделимый”) Зачем погрешность, если размера меньше точки не бывает? Впрочем, и без теории ошибок катапульты Архимеда стреляли достаточно точно, как свидетельствуют исторические хроники.

Но теперь-то мы знаем: нет никакого неделимого атома, а есть очень сложное образование, части которого можно дробить Бог знает сколько раз. Нам лишь известно, что превращением в нуль очередной акт деления кончиться не может, как невозможна и обратная операция создания “нечто” из ничего, что бы там не говорили перпетуумобилисты. Ни один чертеж не может быть реализован абсолютно точно, погрешность неизбежна. Разработаны специальные классы точности. Например, шарикоподшипники изготавливаются по пяти классам, для более тонких деталей и приборов существуют степени обработки, приближающиеся к микронным размерам.

Поэтому правильное задание на построение квадрата должно было бы содержать не только “реквизит”, но и требуемую точность построения. Зная ее, можно выбрать наиболее экономичный способ, не нарушая требований к “инструментам”. При очень высокой точности, возможно, придется для геометрических построений использовать лазерные или более точные “линейки без делений” и “циркули”.

Теперь, когда идея метода найдена, третья “вечная” задача “удвоение объема куба с помощью циркуля и линейки” представляется несложной, была бы указана требуемая точность построения, не правда ли?

Автор: Георгий Черников

Контакт: chernikov@comail.ru

По материалам сайта sciteclibrary.ru


Другие статьи по теме:
 Учебно-научный институт физики, математики и компьютерно-информационных систем
 БРИТАНИЯ МЕТРИЧЕСКАЯ
 ГАУСС, ВЕБЕР, ГЕРБЕР И ДРУГИЕ...
 ЗНАМЕНИТАЯ ЗАДАЧА РЕШЕНА
 ПРОБЛЕМА ПЕРВИЧНОСТИ И НЕЗАВИСИМОСТИ КОНСТАНТЫ g

Добавить комментарий:
Введите ваше имя:

Комментарий:

Защита от спама - введите символы с картинки (регистр имеет значение):

Популярные услуги:

  • Ранжирование проектов в России и за рубежом

    Содействие в участии в зарубежных выставыках и конференциях: от подачи завки и подготовки рекламного материала до самого проведения. Подбор кадров для представительств зарубежных компаний и организаций.

    К услуге

  • Продвижение Ваших проектов и помощь бизнесу

    Любые Ваши коммерческие идеи мы превратим в логически законченный, наглядно оформленный документ (бизнес-план), который можно преподнести инвесторам и партнерам..

    К услуге

Подпишитесь на новости:

И на вашу почту всегда будут приходить только самые интересные и отбрные новости нашего проекта.

подписка:

* В данный момент новости возможно получать только по каналу RSS

НАВЕРХ