У Вас есть удачное изобретение?

Публикуйте концепцию и возможно инвестор заметит Вас!

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

Глобальная математика

06-03-2015

Полуян очень точно затрагивает тему существования недифференцируемых функций. И очень точно подмечает, что источник недифференцируемости – это излом, то есть угол. Если же вся функция состоит только из изломов – это всюду недифференцируемая функция. (то есть вообще, в принципе, недифференцируемая функция. Как же исследовать такие функции?) Такими функциями и являются фракталы. И именно про фракталы геометры всерьез говорят, что они имеют нецелую размерность.

(интересно, какую? Рациональную, просто иррациональную или трансцендентную?) А отсюда недалеко и до мнимой размерности?

Кстати: а разве окружность – это не всюду изломанный многоугольник? Именно про это, вроде бы, и хочет спросить Полуян. А раз так, то именно европейцам, создавшим дифференциальное исчисление и удалось “ухватить за жабры” кривизну. Но им же удалось ухватить и излом. (в виде открытия фракталов. Арабы их веками рисовали, имели с ними дело. Но пройти дальше (сделать их предметом исследования) удалось европейцам. Но главное, что сделали европейцы - не это, а то, что они вообразили процедуру создания орнамента бесконечной, как в числовых рядах (начало которым положено прогрессиями) Именно без этого орнамент не превратился бы во фрактал!). Здесь неожиданно становится понятно: противопоставлять нужно не прямое и кривое (что традиционно делается), а непрерывное (=плавное) и изломанное (разрывное), то есть прямую и угол, действительно кривое (окружность, например, или эллипс) и только кажущееся – фракталы. Прерывную непрерывность и непрерывную прерывность, что ли. А точнее?

Еще одно уточнение: излом – это не разрыв на самом деле, а разрыв производной в вершине излома (так как она в этой точке двухзначна).

Кстати: излом впервые аналитически (здесь вспоминается аналитическая геометрия – исчисление фигур, этот мостик между геометрией и алгеброй) моделирует функция модуль (=абс.величина), а также все составные из нее. (которые даже никто не пытается исследовать)

Итак, под разрывом функции алгебра имеет в виду не неопределимость, а двухзначность (для начала). Поэтому вывод: кривая – это непрерывная дифференцируемость, фрактал – непрерывная недифференцируемость, то есть многозначность производной. Но кривая вырождается в свой предел – прямую. Каков же аналогичный предел у фракталов?

Излом – это прерывная дифференцируемость. (в которой основное тело – дифференцируемо). Что же является аналогом излома в мире фракталов? То есть такой фигуры, то есть графика функции (а в чистой алгебре – функции), у которой основное тело недифференцируемо, но есть точки, в которых наблюдается дифференцируемость. Иными словами, это прерывная недифференцируемость. Явление, которое в алгебре (или матанализе?) до сих пор не наблюдалось. Как это вообще возможно – быть дифференцируемым в точке, будучи недифференцируемым в ее окрестностях?

Почти уверен: все эти рассуждения ведут к созданию нового раздела математики – общей теории фракталов (ОТФ).

Поостейший объект ОТФ – это одномерный фрактал. (О существовании которого многие любители фракталов даже и не подозревают.) Между тем одномерный фрактал – любая (бесконечная) процедура (закономерность - алгоритм) заполнения прямой (оси) точками. И он, несомненно, имеет размерность от 0 до 1.

Итак, кривая – это непрерывная дифференцируемость, фрактал – непрерывная недифференцируемость, то есть многозначность производной. Но кривая вырождается в свой предел – прямую. Каков же аналогичный предел у фракталов?

Прямая – это непрерывно дифференцируемая неизменность. Точно также можно помыслить и непрерывно недифференцируемую неизменность (ННН). С нее-то, по-видимому, и последует начало общей теории фракталов.

Но как можно говорить о недифференцируемой неизменности? Ведь саму изменность мы определяем только в терминах производной. Идея: ННН – это такая функция, производная которой всюду имеет бесконечное множество значений. Но зачем такой размах? Ведь довольно и двух значений (в каждой точке).

Здесь обычно (особо строгими (математиками)) добавляется: в каждой точке области определения. Но ведь нам хотелось бы, не правда ли, не добавлять этой присказки? Ведь что это за прямая, которая не определена всюду? Но что значит всюду? На рациональной оси? На просто иррациональной? На трансцендентной? Кстати: рациональная ось тоже непрерывна, то есть заполняет всю прямую без дыр. О чем это говорит? Да о том, что есть разные степени-понятия непрерывности! И это – подспорье для дальнейшей раскрутки ОТФ.

Но занесло меня на бесконечное (и желательно не на натуральной оси! А хотя бы на рациональной.) множество значений производной функции в каждой точке не зря! Ведь именно такая модель и ведет нас к мнимой оси (которая так упорно ищется Полуяном), этого прообраза, что ли, выхода в следующее измерение. И еще - поддержки идеи многомерного времени.

Степени-понятия непрерывности возникают вместе с расширением множества чисел, а значит – вместе с попытками решения все новых и новых уравнений, то есть включающих в себя все более новые (комбинированные) функции. Но как произвести из сложения (и по цепочке умножение, возведение в степень), например, синус и косинус? По видимому, через экспоненту и мнимые числа. Ведь без этого синус и косинус кажутся какими-то сторонними.

Стороннее наблюдение: когда продолжение рассуждения начинает происходить в равной интенсивности с распространением рассуждения – не это ли свидетельство выхода рассуждения в режим 2-мерного времени?

Периодическая функция – это прообраз непрерывной недифференцируемости – этого аналога прямой в мире фракталов. Что можно получить из этого в пределе?

Представим себе функцию, производная которой на всей области определения функции имеет два значения: 1 и –1. Что можно сказать об этом еще? Какие можно из этого сделать выводы? В смысле не какие (именно) выводы, а можно ли (их) сделать.

Интересно, что именно такая функция получится, если устремить частоту, например, синуса к бесконечности! (Но не алгебраически, а геометрически! Это аналогично тому, что график синуса мы сжимаем до бесконечности.) Стоп, а если частоту устремить к нулю? Чисто формально получается, вроде бы, то же самое. Но по существу, вроде бы, нет. Чисто формально – это в виде графика, что ли. То есть и та и другая функция (в виде графика) опишет то же самое пространство на плоскости, но… Чисто интуитвно видно, что во 2-ом случае получается функция какой-то доселе неизвестной природы. Ее график получится, если график синуса мы будем растягивать до бесконечности.

Кстати, а можно ведь сжимать и растягивать не только синус, но и любые периодические функции.

Еще одно: при сжатии синусоиды мы, вроде бы, будем получать все ту же непрерывную дифференцируемость! Поскольку сама синусоида – непрерывная дифференцируемость. (А вот если ее возвести в квадрат, то получим прерывную дифференцируемость.) Или все-таки при сжатии в какой-то момент дифференцируемость превращается в недифференцируемость?

Собственно, математика только и делает, что изобретает новые, еще более немыслимые функции. А вслед за ними – новые, еще более немыслимые числа. А физике-то, глядя на это, что делать? Лобать или не лобать?

Кстати: белый шум – это тоже специфическая функция. Она получена бесконечным уменьшением частоты основного тона периодической функции (в виде ряда Фурье) до нуля. Стоп, но не есть ли это как раз та самая непрерывно недифференцируемая неизменность? То есть та самая одномерно-двухмерная (по графику!) функция? Которая в каждой точке своего определения имеет бесконечное множество значений (и график такой “прямой” – плоскость). Но это только потенциально (в мире возможностей), а фактически реализуется только одно из (значений). Когда такое происходит, мы и получаем связь между миром возможностей и миром реальностей. А заодно – связь между алгеброй случайных функций (теорией вероятности и тому подобное) и алгеброй обычных, неслучайных. Разлагаемых в (неслучайный) ряд, пусть и бесконечный.

Функция же, о которой идет речь выше (с производной 1 и –1) – это как бы самая простейшая (двоичная, то есть в двоичной системе счисления) модель, что ли, ННН.

Здесь сразу же припоминаются эксперименты Стахова с системами счисления с нецелым (и причем даже трансцендентным) основанием. А именно – числом “фи”.

2

Итак, степени-понятия непрерывности возникают вместе с расширением множества чисел, а значит – вместе с попытками решения все новых и новых уравнений, то есть включающих в себя все более новые (комбинированные) функции. Но как произвести из сложения (и по цепочке умножение, возведение в степень), например, синус и косинус? По видимому, через экспоненту и мнимые числа. Ведь без этого синус и косинус кажутся какими-то сторонними.

Предположение: а удастся ли все-таки выйти на синус и косинус без выхода на ряды (=бесконечные функции. А точнее – бесконечно отражаемые)?

В связи с вопросом о происхождении синуса и косинуса: но как получить число “е” исходя только из сложения и умножения? Матанализ дает простейший ответ на этот вопрос (в виде бесконечного числового ряда, но сходящегося). Но нельзя ли решить этот вопрос без бесконечности, а именно - без бесконечных рядов? Но почему бесконечные ряды так не нравятся? Именно поэтому, наверно, и предлагаемое выше определение синуса и косинуса было решено (показалось?) неприемлемым.

Но не играет ли решающее значение (в данной тематике) тот факт, что и синус и косинус и экспонента – это унарные функции, в противоположность тому, что функция, ранее объявленная базовой (сложение) (и все полученные из нее, традиционным способом) – это бинарные функции? Кроме того, важно то, что бесконечные ряды – это бесконечно-арные (=бесконечно-операндные) функции. Хотя, это неточно. Не бесконечно-арные, а функции с бесконечным количеством операций (за счет бесконечного цикла).

Но так или иначе, здесь становится понятно, что фундаментальную роль (в глобальной математике) играет всего лишь 1, 2 и бесконечность.

Глобальную математику еще только предстоит создать. Сегодня я только намечал ее план. Но с другой стороны, глобальная математика (в своей части) уже создана. И так она всегда будет существовать. То есть в своей части.

3

Интересное наблюдение: мнимость – это и есть кажимость. Таким образом, мнимость (функции) – это всегда зарождение новой степени свободы, что ли?

Кажется, у меня уже крыша едет. И поедет, потому что отобразить, то есть конечно соответствовать, можно только конечное знание.

Мнимость впервые возникает в виде одномерности-двухмерности белого шума. То есть такой функции, где возможность и действительность фигурируют одновременно. Но ведь также можно подумать и об одновременной фигурируемости действительности и кажимости, с этим я уже встречался. (например, в принципе относительности знания.) Но что самое многотрудное – это одновременное фигурирование кажимости и возможности. Такого я еще не видел.

Мнимое число – пока еще не алгебраическое. А вот комплексное – уже да. И так алгебраические числа можно строить волна за волной. Но сначала получая новые неалгебраические числа. За счет введения все новых и новых операций. Обращением и повторением, обращением и повторением… А повторением (заполнением пространства-оси) сначала натуральным, затем рациональным (через отрицательное), затем иррациональное? Кстати, а как определено возведение в иррациональную степень? Да никак не определено! А почему? Да очень просто: оперировать можно только с числами, имеющими конечное отображение. А точнее – с величинами, имеющими конечное отображение, потому что числа – это и есть отображения величин.

Еще важное наблюдение: алгебраическим числам впервые дает начало только мнимое число! Такого почему-то не делает ни рациональное, ни просто иррациональное (иррациональное вообще за вычетом трансцендентных), ни трансцендентное число. Почему?

Здесь не худо было бы и призадуматься: а почему я до сих пор не написал (более-менее) исчерпывающую статью о системе элементов Менделеева (периодической, кстати). Ведь в этой системе мир как бы последовательно проходит (развивается? Материализуется?) по натуральному ряду. И не только, ведь атомные массы элементов – наверняка числа трансцендентные, а не просто иррациональные.

Кстати: отображение рациональной величины – тоже бесконечно, только оно периодично. К тому же всякую рациональную величину можно отобразить и конечно. А как? Да так: в виде обыкновенной дроби, то есть, получается, в виде алгебраическом, то есть не много не мало в виде выражения! Но не тоже самое относится и числу просто иррациональному? То есть, например, решению квадратного уравнения (в виде выражения, разумеется. Но почему сразу не виде уравнения? Ведь в уравнении, а не в выражении, удается охватить (и впервые, похоже) многозначность, пусть и начиная с 2-хзначности.)

Здесь впервые мне завиделась (опять же) тройка: числа, функции (операции и выражения) и уравнения. Вышеприведенные рассуждения опять же впервые указали на единство (а точнее - триединство) всех этих понятий.

Но рассуждение перед ними, похоже, выводят нас в 4-ое измерение математики. Связанное с непрерывной недифференцируемостью. А точнее – с прерывностью-непрерывностью (то есть заполнением пространства-оси) и дифференцируемостью-недифференцируемостью (однозначностью-значностью производных) функций.

(здесь опять, кстати, замаячила мнимая ось, ведь путаница между непрерывностью и дифференцируемостью на это и указывает! Иначе говоря: если производная 2-хзначна, то ее объявляют несуществующей, то есть неопределенной. Мнимая ось функции – это и есть ее многозначность. И в то же время разрывность (в полном смысле этого слова). В другой проекции, то есть в обращении!)

Обращение (решение уравнения) и повторение (цикл) – это универсальные операции производства новых мат.операций. Но не стоит ли к ним добавить еще и уход в бесконечность (=бесконечный цикл)? Впрочем, он уже добавлен. Ведь операция умножения из сложения получена именно так. Но, внимание, это только натуральная бесконечность! Значит, бесконечность (в большом), как и бесконечность в малом (то есть непрерывность), экстраполяция и интерполяция, подобие (или его отсутствие, в белом шуме) не только в малом, но и в большом имеет также несколько степеней-понятий!

Итак, сегодня обнаружено триединство чисел, функций и уравнений. Причем в этой тройке просматривается аналогия: числа – объекты, функции – концепты, а уравнения – проекты (=идеи).

Стоп, но есть и 4-ая составляющая – соединение (и разъединение-анализ, наверно, тоже)! Эта мысль появляется в связи с наличием различия между понятиями выражение и операция (то есть элементарная = атомарная функция). Но не связано ли это различие с существованием или несуществованием (унарных) отображений (=обозначений) для все более сложных функций?

Итак, операция сложения – базовая операция! И причем единственная. Но только при помощи специфических операций – операций соединения (сложения алгоритмов), как-то: следования, перехода, цикла и т.п.

4

Полуяна интересует на самом деле не как получить из сложения экспоненту и тригонометрические функции! А как естественно получить два (математических) трансдендентых числа – “е” и “пи”. Ведь экспонента – это показательная (бинарная) функция, превращенная в унарную путем фиксации основания на “е”. Но не так обстоит дело с синусом и косинусом – они не получаются из некоторой бинарной функции… а может, стоит ее поискать?

Европейская математика до сих пор знает только один способ естественного вывода обсуждаемых чисел – за счет бесконечного ряда. (причем сначала синус надо еще обратить) В отношении числа “е” существует еще замечательный предел. Вот и все.

Еще одна тонкость: “пи” получается вовсе не как полупериод синуса. Эта иллюзия возникает из-за того, что существует странная мера угла – радиан, которая (почему-то!) считается безразмерной. Но это в математике. В физике же имеется специальная размерность – рад. От которой, впрочем, остается пшик, когда физики начинают делать математические выкладки. Ведь в противном случае пришлось бы вычислять синус от размерного аргумента.

Откуда вообще повелись это правила: 1)размерные величины можно только складывать, вычитать, умножать и делить (а также извлекать корни целой степени. А как насчет того требования, чтобы в результате получались только целые степени размерности?); 2)складывать и вычитать можно только величины одинаковых размерностей? Налицо некая выделенность перечисленных выше операций

Вспомним, как определяется радиан. Это угол, опирающийся на дугу длиной, равной радиусу окружности. Но почему это обстоятельство считается достаточным, чтобы работать с радианом, как с безразмерной единицей?

Но вдумаемся, что это за странная вещь – размерная величина? Ведь это же не величина, а само свойство, пусть и измеренное в некоторых единицах (не единицах, а единицах измерения!). Потому что величина – понятие математическое и по определению безразмерна. И вот на радиане эта странность (чудесным образом) снимается. Однако, хоть размерность рад и (как бы) неотличима от безразмерности, складывать угловую величину можно только с угловой величиной. Действительно же безразмерная величина получается только если угловую величину поделить на угловую величину.

Идея: тригонометрические функции следует объявить специфическими! То есть такими, которые можно применять только к размерным величинам! И причем только одного вида – угловым величинам.

Радиан же понравился алгебраистам только потому, что если в нем измерять угловые величины, то разложение тригонометрических функций в степенной ряд будет иметь наиболее простой вид.

Понято! Полуян пытается извлечь философские дивиденды из формулы Эйлера, в которой действительно разом присутствуют: число “е”, мнимая единица и число “пи” (правда, опосредованно, через синус и косинус). В частном случае, при х=1, она дает exp(i) =cos(1) + i*sin(1). При x=Pi/2 получится exp(i*Pi/2) = i => Pi = 2*Ln(i)/i. При x= -i получаем e = cos(-i) + i*sin(-i) = ch (-1) - sh(-1). Итак, число “пи” удается выразить через мнимую единицу. Наконец, при x=Pi получим exp(i*Pi) = -1 => Pi = ln(-1)/i. Впрочем, решение уравнения exp(x)= -1 многозначно. Поскольку в комплексной области функция exp – периодическая. (то есть имеет отношение к вращению!) Но ведь именно это и следует непосредственно из формулы Эйлера!

А что же тригонометрические функции в комплексной (а точнее – мнимой) области? Они перестают быть периодическими и вырождаются в гиперболические тригонометрические функции, состоящие из обычных экспонент.

Итак, посредством перехода в некую мнимую область пространства поступательность (монотонность) превращается во вращательность (периодичность), и наоборот. Что показывает также и естественную квантованность не только вращения, но и поступательности. Которая, однако, проявляется только в мнимой области пространства.

Не настало ли время вспомнить мне про вейвлеты?

Когда делаем угол вращения мнимым, то вращение перестает быть периодическим. Но если синус и косинус однозначно интерпретируются как вращательные функции, то как же интерпретировать экспоненту? В математике она известна как единственная функция, равная собственной производной. И тому же имеющая отношение к процессам размножения, что ли. Или как функция, описывающая цепные реакции. Поэтому: если фактор размножения, что ли, сделать мнимым, то размножение становится периодическим процессом. Как это интерпретировать?

Между прочим: экспонента (как и тригонометрические функции) – применима только к угловой мере! Поскольку тоже связана с ней через формулу Эйлера.

Итак, если фактор роста сделать мнимым, то из экспоненты получается периодический процесс. А если фактор роста сделать комплексным? Получится одновременно и рост и циклический процесс. Например, как в спирали. Или в винтовой линии. Вращающийся радиус-вектор возвращается уже не в ту точку, из которой начал.

Exp(x) – это еще не процесс! Нужно вести время. Но мнимый аргумент экспоненты (мнимая угловая мера) может получаться по-разному. Например, если будет мнимой частота вращения. Второй способ – сделать мнимым время!

А если сделать время 3-хмерным? Или, быть может, сделать мнимым пространство (через кватериноны), как и предлагает Полуян? Но при этом не получится мнимых угловых мер. Выход есть: нужно вводить кватернионы, но только их мнимые компоненты оставить для времени. Здесь новая проблема: пространство в таком случае потеряет свою 3-хмерность. Что же делать?

Между тем, идея о 3-мерности времени снимает, по-видимому, многие вопросы, связанные с причинностью.

Но 3-хмерность времени, по-видимому, все-таки, недостаточна для решения космологической проблемы. Для этого кажется еще необходимой и идея мистического подхода к объяснению мира.


Другие статьи по теме:
 О РАЗМЕРНОСТИ ПРОСТРАНСТВА
 ТРАКТАТ О НУЛЕ
 «Применение математических методов в науке и технике»
 ЗНАМЕНИТАЯ ЗАДАЧА РЕШЕНА
 Кафедра высшей математики и компьютерных технологий

Добавить комментарий:
Введите ваше имя:

Комментарий:

Защита от спама - введите символы с картинки (регистр имеет значение):

Популярные услуги:

  • Ранжирование проектов в России и за рубежом

    Содействие в участии в зарубежных выставыках и конференциях: от подачи завки и подготовки рекламного материала до самого проведения. Подбор кадров для представительств зарубежных компаний и организаций.

    К услуге

  • Продвижение Ваших проектов и помощь бизнесу

    Любые Ваши коммерческие идеи мы превратим в логически законченный, наглядно оформленный документ (бизнес-план), который можно преподнести инвесторам и партнерам..

    К услуге

Подпишитесь на новости:

И на вашу почту всегда будут приходить только самые интересные и отбрные новости нашего проекта.

подписка:

* В данный момент новости возможно получать только по каналу RSS

НАВЕРХ