Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. Однако все исследуемые математикой объекты имеют прообразы в реальном мире, более-менее похожие на свои математические модели. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые нужные для цели исследования. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) в виде шара. Если же нам нужно понять, сколько апельсинов мы получим, если сложим вместе два и три, - то можно абстрагироваться и от формы, оставив в модели только одну характеристику-количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде-это цель математики.

Изучение объектов в математике происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируется список аксиом и вводятся необходимые определения, а затем из аксиом с помощью логических правил вывода получают ценные теоремы.

Изучение количества начинается с чисел, сначала из знакомых нам натуральных чисел и целых чисел и арифметических операций с ними, которые изучаются в арифметике. Глубокие свойства целых чисел изучает теория чисел, к которой принадлежит знаменитая Великая теорема Ферма. К нерешенных задач теории чисел относятся предположения относительно простых чисел-близнецов и Гипотеза Гольдбаха.

В процессе развития числовой системы, целые числа оказались подмножеством рациональных чисел (добавились дроби). А эти в свою очередь входят в множество действительных чисел, используемых для отображения непрерывных величин. Действительные числа являются частным случаем от комплексных чисел. А они являются первым шагом в иерархии чисел, которая включает кватернионы и октонионы. Изучение натуральных чисел привело к появлению трансфинитных чисел, которые формализуют понятие бесконечности. Другой областью исследования является размер множества чисел, который привел к появлению кардинальных чисел, а затем к новой концепции бесконечности: чисел алеф, позволяющие значимо сравнить размер бесконечно больших множеств.

Исследование пространства привело к возникновению геометрии, в частности Евклидовой геометрии. Тригонометрия - это раздел математики, который имеет дело с отношениями между сторонами и углами в треугольнике и с тригонометрическими функциями, здесь пространство выраженный в числах, в этот раздел входит знаменитая теорема Пифагора. Современные исследования пространства обобщают эти идеи и включают многомерную геометрию, неевклидовы геометрии (которые играют центральную роль в общей теории относительности) и топологию. Количественные и пространственные характеристики вместе исследуются в аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии. Конвексный геометрия и дискретная геометрия были разработаны, чтобы решить задачи в теории чисел и функциональном анализе, но теперь нашли свое применение в оптимизации и информатике.

В Украине утрадицийнени термины «Математика элементарная» и «Математика выше», которые соответственно обозначают курс «Математика» в общеобразовательной средней школе (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия) и высшей (высшая алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения, теория вероятностей, математическая статистика и т.д.).

В школе изучается элементарная математика-арифметика, функции, алгебра; в ВУЗ-высшая математика: дифференциальное, интегральное исчисление, топология, теория операторов и все остальное, что не входит в элементарную математику. Высшая математика, как правило, базируется на высшем уровне абстракции, чем элементарная математика, и менее просто выводится из окружающего мира.